Alternatively, one can apply the method directly to the list of Laurent polynomials f0,...,fn. In this case, the matrices A0,...,An are automatically determined by exponentsMatrix. If you want require that A0=…=An, then use the option Unmixed=>true (this could be faster). Below we consider some examples.
In the first example, we calculate the sparse (mixed) resultant associated to the three sets of monomials (1,x y,x2 y,x),(y,x2 y2,x2 y,x),(1,y,x y,x). Then we evaluate it at the three polynomials f = c(1,1)+c(1,2) x y+c(1,3) x2 y+c(1,4) x, g = c(2,1) y+c(2,2) x2 y2+c(2,3) x2 y+c(2,4) x, h = c(3,1)+c(3,2) y+c(3,3) x y+c(3,4) x.
i1 : time Res = sparseResultant(matrix{{0,1,1,2},{0,0,1,1}},matrix{{0,1,2,2},{1,0,1,2}},matrix{{0,0,1,1},{0,1,0,1}}) -- used 0.355795 seconds o1 = sparse mixed resultant associated to {| 0 1 1 2 |, | 0 1 2 2 |, | 0 0 1 1 |} over ZZ | 0 0 1 1 | | 1 0 1 2 | | 0 1 0 1 | o1 : SparseResultant |
i2 : use QQ[c_(1,1)..c_(3,4)][x,y]; |
i3 : (f,g,h) = (c_(1,1)+c_(1,2)*x*y+c_(1,3)*x^2*y+c_(1,4)*x, c_(2,1)*y+c_(2,2)*x^2*y^2+c_(2,3)*x^2*y+c_(2,4)*x, c_(3,1)+c_(3,2)*y+c_(3,3)*x*y+c_(3,4)*x) 2 2 2 2 o3 = (c x y + c x*y + c x + c , c x y + c x y + c x + c y, c x*y + c x + c y + c ) 1,3 1,2 1,4 1,1 2,2 2,3 2,4 2,1 3,3 3,4 3,2 3,1 o3 : Sequence |
i4 : time Res(f,g,h) -- used 0.00968253 seconds 2 4 2 2 4 3 2 3 2 3 o4 = - c c c c c c c + c c c c c c + c c c c c c - 2c c c c c c c c + 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,4 3,1 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 1,1 1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 3 2 2 3 2 2 3 4 2 3 2c c c c c c c c + c c c c c c c + c c c c c c c - c c c c c + 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 1,1 1,3 1,4 2,2 2,3 3,1 3,2 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 1,3 2,1 2,4 3,1 3,2 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 3 2 3 2 2 2 3 2 2 3 2c c c c c c c - 2c c c c c c c c - c c c c c c - c c c c c c c 1,1 1,3 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 1,1 1,3 2,2 2,4 3,1 3,2 1,2 1,3 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 - c c c c c c c + 2c c c c c c c - 2c c c c c c c - 1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 1,1 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2c c c c c c c + c c c c c c c - 2c c c c c c c + 1,1 1,3 1,4 2,2 2,3 3,1 3,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 1,1 1,3 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3c c c c c c c c + 2c c c c c c c + c c c c c c c c c - 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 1,1 1,3 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 1,1 1,2 1,3 1,4 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 3 c c c c c c - c c c c c c c + c c c c c c + c c c c c c - 1,2 1,3 2,1 2,4 3,1 3,2 1,1 1,2 1,3 2,2 2,4 3,1 3,2 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 1,1 1,3 1,4 2,3 3,1 3,2 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2c c c c c c c - c c c c c c c c - c c c c c c - 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 1,1 1,3 1,4 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 1,1 1,3 2,3 2,4 3,1 3,2 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 3 3 2 3 2 2 3 2 2 3 c c c c c c c c + c c c c c c + c c c c c c c + c c c c c c c + 1,1 1,2 1,3 1,4 2,3 2,4 3,1 3,2 1,3 1,4 2,1 2,4 3,1 3,2 1,1 1,3 1,4 2,2 2,4 3,1 3,2 1,1 1,2 1,3 2,3 2,4 3,1 3,2 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 4 2 2 4 3 3 4 2 2 3 c c c c c c - 2c c c c c c + c c c c - c c c c c c c + 1,1 1,3 1,4 2,3 2,4 3,2 1,1 1,3 1,4 2,3 2,4 3,2 1,1 1,3 2,4 3,2 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 2 3 3 2 3 3 2 3 c c c c c c c c c + c c c c c c c - c c c c c c + c c c c c c - 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,3 1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,3 1,2 1,4 2,1 2,3 3,1 3,3 1,2 1,3 2,1 2,4 3,1 3,3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 3 2 3 3 3 c c c c c c c c - c c c c c c c c + c c c c c c c - 1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,4 3,1 3,3 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,3 1,2 1,3 2,1 2,3 2,4 3,1 3,3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 2 3 2 2c c c c c c c + 3c c c c c c c c c - 2c c c c c c c c - 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,3 1,1 1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c c c c c c c - 4c c c c c c c c c + 2c c c c c c c + 1,1 1,4 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,3 1,2 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 3 2 2 2 2 c c c c c c c c + 2c c c c c c c - 3c c c c c c c c c + 1,1 1,2 1,4 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 1,3 1,4 2,1 2,4 3,1 3,2 3,3 1,1 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 2 2 2c c c c c c c c c + c c c c c c c c + 4c c c c c c c c c - 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3 1,1 1,3 1,4 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3 1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 2 2 2 4c c c c c c c c c - c c c c c c c c c + 2c c c c c c c + 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 1,1 1,2 1,3 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 1,2 1,3 2,1 2,4 3,1 3,2 3,3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 2 3 2 2 2 2 2 2 2 3 2 c c c c c c c - c c c c c c c + c c c c c c c - c c c c c c c - 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 1,2 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,3 1,1 1,4 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 1,1 1,2 1,4 2,3 3,1 3,2 3,3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 2 2 2 2 c c c c c c c c - 3c c c c c c c c c + 3c c c c c c c c c + 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3 1,1 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 2 2 2c c c c c c c c c - c c c c c c c c c + c c c c c c c c + 1,1 1,3 1,4 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 1,1 1,2 1,4 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 1,1 1,2 1,3 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 3 2 2 2 2 2 c c c c c c c c + 3c c c c c c c - 2c c c c c c c c - 1,1 1,2 1,4 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 1,1 1,3 2,1 2,4 3,1 3,2 3,3 1,2 1,3 1,4 2,1 2,4 3,1 3,2 3,3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3c c c c c c c + c c c c c c c c c - c c c c c c c c + 1,1 1,3 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3 1,1 1,2 1,3 1,4 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3 1,1 1,2 1,3 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 c c c c c c c - c c c c c c c - c c c c c c c - c c c c c c c + 1,1 1,4 2,2 2,3 2,4 3,2 3,3 1,1 1,3 1,4 2,3 2,4 3,2 3,3 1,1 1,2 1,4 2,3 2,4 3,2 3,3 1,1 1,3 1,4 2,2 2,4 3,2 3,3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 3 2 3 2 3 3 2 2 2 2 c c c c c c + 3c c c c c c c c - 2c c c c c c + 2c c c c c c c - 1,1 1,3 2,3 2,4 3,2 3,3 1,1 1,2 1,3 1,4 2,3 2,4 3,2 3,3 1,1 1,2 1,3 2,4 3,2 3,3 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c c c c c c c c + 2c c c c c c c - 2c c c c c c c + 1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,3 1,1 1,2 1,4 2,1 2,3 3,1 3,3 1,2 1,3 1,4 2,1 2,4 3,1 3,3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 3 2 2 c c c c c c c c c - 2c c c c c c c c + c c c c c c c - 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,3 1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 2,4 3,1 3,3 1,2 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 2 2 3 2 2 3 2 c c c c c c + c c c c c c c - c c c c c c c c + 1,2 1,3 2,1 2,4 3,1 3,3 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,3 1,1 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 c c c c c c c c - c c c c c c c - c c c c c c c + 1,1 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,3 1,1 1,4 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 1,3 1,4 2,1 2,4 3,1 3,2 3,3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 2 c c c c c c c c c - c c c c c c c c + 5c c c c c c c c c c - 1,1 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3 1,1 1,3 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 3 2 2 2 c c c c c c c c + c c c c c c c c - c c c c c c c c c - 1,2 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 1,1 1,3 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 1,1 1,2 1,4 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5c c c c c c c c + c c c c c c c c + c c c c c c c c + 1,1 1,2 1,3 2,1 2,4 3,1 3,2 3,3 1,2 1,3 1,4 2,1 2,4 3,1 3,2 3,3 1,1 1,2 1,3 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c c c c c c c c - 2c c c c c c c + c c c c c c c - 1,1 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,2 3,3 1,1 1,4 2,2 2,3 2,4 3,2 3,3 1,1 1,2 1,4 2,3 2,4 3,2 3,3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c c c c c c c + 2c c c c c c c - c c c c c c c - c c c c c c c + 1,1 1,3 1,4 2,1 2,4 3,2 3,3 1,1 1,3 1,4 2,2 2,4 3,2 3,3 1,1 1,2 1,3 2,3 2,4 3,2 3,3 1,1 1,2 1,4 2,3 2,4 3,2 3,3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 3 2 2 3 2 3 2 2 3 2 2 3 c c c c c c - c c c c c c - c c c c c c c + c c c c c c c + 1,1 1,2 1,3 2,4 3,2 3,3 1,2 1,4 2,1 2,3 3,1 3,3 1,1 1,2 1,4 2,1 2,3 3,1 3,3 1,2 1,3 1,4 2,1 2,4 3,1 3,3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 3 2 3 2 2 3 c c c c c c c c - 2c c c c c c c c + 2c c c c c c c - 1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 2,4 3,1 3,3 1,1 1,2 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,3 1,1 1,2 1,3 2,1 2,4 3,1 3,3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 3 2 3 3 3 c c c c c c c c - c c c c c c c c + c c c c c c c + 1,1 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,2 3,3 1,1 1,2 1,4 2,1 2,3 2,4 3,2 3,3 1,1 1,4 2,2 2,3 2,4 3,2 3,3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 3 2 3 3 2 3 2 4 c c c c c c + c c c c c c c c - c c c c c c + c c c c c c c - 1,1 1,3 2,1 2,4 3,2 3,3 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,4 3,2 3,3 1,1 1,3 2,2 2,4 3,2 3,3 1,1 1,2 1,4 2,1 2,3 2,4 3,3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 4 2 2 2 3 2 3 3 3 c c c c c c - c c c c c c + c c c c c c c c + c c c c c c c - 1,1 1,2 1,3 2,1 2,4 3,3 1,2 1,4 2,1 2,2 3,1 3,4 1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,3 3,1 3,4 1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2c c c c c c c + c c c c c c c - 2c c c c c c c c + 1,2 1,3 2,1 2,2 2,4 3,1 3,4 1,3 1,4 2,1 2,2 3,1 3,2 3,4 1,1 1,3 1,4 2,1 2,2 3,1 3,2 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2c c c c c c c + c c c c c c - c c c c c c c + 2c c c c c c c c 1,2 1,4 2,1 2,2 3,1 3,2 3,4 1,1 1,4 2,2 3,1 3,2 3,4 1,1 1,3 2,1 2,3 3,1 3,2 3,4 1,1 1,3 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 3 2 2 - c c c c c c c c c c - 2c c c c c c c c - c c c c c c c - 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4 1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4 1,1 1,3 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 2 3 2 2 c c c c c c c c - c c c c c c c c + c c c c c c c - 1,1 1,2 1,4 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4 1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 3,1 3,2 3,4 1,2 1,3 2,1 2,4 3,1 3,2 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 2 2 3c c c c c c c c c + 5c c c c c c c c c + 2c c c c c c c c + 1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,4 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,4 1,1 1,2 1,3 2,2 2,4 3,1 3,2 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 4 2 2 2 2 2 2 c c c c c c c c - c c c c c c + 2c c c c c c c + 1,2 1,3 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,4 1,4 2,1 2,2 3,1 3,2 3,4 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c c c c c c c c - c c c c c c c - 2c c c c c c c + 1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4 1,1 1,4 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4 1,1 1,3 2,1 2,3 3,1 3,2 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 3 2 2 2 2 2 4c c c c c c c c c + 2c c c c c c c + c c c c c c c c - 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,4 1,1 1,3 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4 1,1 1,2 1,4 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 2 2 2 2 2 2c c c c c c c + 3c c c c c c c c c - 3c c c c c c c c c - 1,3 1,4 2,1 2,4 3,1 3,2 3,4 1,1 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,4 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 2 2 2 c c c c c c c c + c c c c c c c c - c c c c c c c c c - 1,1 1,3 1,4 2,2 2,4 3,1 3,2 3,4 1,1 1,2 1,4 2,2 2,4 3,1 3,2 3,4 1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 2 c c c c c c c c c - 4c c c c c c c c c - c c c c c c c c c + 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,4 1,1 1,2 1,3 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 3,4 1,1 1,2 1,4 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 2 3 2c c c c c c c c - c c c c c c c - c c c c c - c c c c c c + 1,1 1,2 1,3 2,2 2,4 3,1 3,2 3,4 1,1 1,3 1,4 2,1 2,3 3,2 3,4 1,1 1,3 2,3 3,2 3,4 1,1 1,4 2,2 2,4 3,2 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 3 2 3 2 3 4c c c c c c c c - c c c c c c c c + c c c c c c c c + 1,1 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,2 3,4 1,1 1,3 1,4 2,2 2,3 2,4 3,2 3,4 1,1 1,2 1,4 2,2 2,3 2,4 3,2 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 3 3 2 3 2 2 2 3 2 3 2c c c c c c c - 3c c c c c c + 3c c c c c c - 3c c c c c c c c - 1,1 1,2 1,3 2,3 2,4 3,2 3,4 1,1 1,3 2,1 2,4 3,2 3,4 1,1 1,3 2,2 2,4 3,2 3,4 1,1 1,2 1,3 1,4 2,2 2,4 3,2 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 3 2 2 2 2 2 2 c c c c c c c - c c c c c c c c + c c c c c c c c + 1,1 1,2 1,3 2,3 2,4 3,2 3,4 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 3,1 3,3 3,4 1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 3,1 3,3 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 2 2 c c c c c c c c - c c c c c c c c c - 4c c c c c c c c c + 1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 3,1 3,3 3,4 1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,3 3,1 3,3 3,4 1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,3 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 2 2 2 2 2 2 2 c c c c c c c - c c c c c c c + 5c c c c c c c c c - 1,1 1,2 2,1 2,3 3,1 3,3 3,4 1,2 1,3 2,1 2,4 3,1 3,3 3,4 1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,4 3,1 3,3 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 4 2 3 2 c c c c c c c c - c c c c c c c - c c c c c c c c + 1,2 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,3 3,4 1,2 2,1 2,3 2,4 3,1 3,3 3,4 1,3 1,4 2,1 2,2 3,1 3,2 3,3 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 2 2 2 2 c c c c c c c c + 4c c c c c c c c c - 4c c c c c c c c c - 1,1 1,4 2,1 2,2 3,1 3,2 3,3 3,4 1,1 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,3 3,4 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,3 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 3 2 7c c c c c c c c c c + 5c c c c c c c c c c + 3c c c c c c c c + 1,1 1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 3,4 1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 3,4 1,1 1,4 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 3 2 4c c c c c c c c c - 4c c c c c c c c c - c c c c c c c c - 1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 3,1 3,2 3,3 3,4 1,1 1,2 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,3 3,4 1,1 1,2 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 2 2 2 2 3c c c c c c c c + 3c c c c c c c c c + 6c c c c c c c c c - 1,1 1,3 2,1 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4 1,2 1,3 1,4 2,1 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4 1,1 1,3 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 3 2 8c c c c c c c c c c c + c c c c c c c c c - 3c c c c c c c c + 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4 1,2 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4 1,1 1,3 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 3 c c c c c c c c c - c c c c c c c c c c + c c c c c c c c c + 1,1 1,2 1,4 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4 1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4 1,2 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 3 2 2 2 2 c c c c c c c c c - c c c c c c c c + c c c c c c c c - 1,1 1,2 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4 1,1 1,4 2,1 2,2 2,3 3,2 3,3 3,4 1,1 1,2 1,4 2,1 2,3 3,2 3,3 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 c c c c c c c + c c c c c c + 2c c c c c c c + c c c c c c c c - 1,1 1,4 2,2 2,3 3,2 3,3 3,4 1,1 1,2 2,3 3,2 3,3 3,4 1,1 1,4 2,2 2,4 3,2 3,3 3,4 1,1 1,3 2,1 2,3 2,4 3,2 3,3 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 3 2 2 2 7c c c c c c c c c c - c c c c c c c c + 2c c c c c c c c c - 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,2 3,3 3,4 1,1 1,3 2,2 2,3 2,4 3,2 3,3 3,4 1,1 1,2 1,4 2,2 2,3 2,4 3,2 3,3 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2c c c c c c c + 5c c c c c c c c - c c c c c c c c + 1,1 1,2 2,3 2,4 3,2 3,3 3,4 1,1 1,2 1,3 2,1 2,4 3,2 3,3 3,4 1,1 1,2 1,3 2,2 2,4 3,2 3,3 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 3 2 2 3 2 2 c c c c c c c c + c c c c c c c + c c c c c c c - 1,1 1,2 1,4 2,2 2,4 3,2 3,3 3,4 1,1 1,2 2,3 2,4 3,2 3,3 3,4 1,2 1,4 2,1 2,2 3,1 3,3 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 2 2 2 4c c c c c c c c c + 2c c c c c c c + 3c c c c c c c c c - 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,3 3,4 1,2 1,4 2,1 2,3 3,1 3,3 3,4 1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,3 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2c c c c c c c + 3c c c c c c c c - c c c c c c c c - 1,1 1,2 2,1 2,3 3,1 3,3 3,4 1,1 1,2 1,3 2,1 2,4 3,1 3,3 3,4 1,2 1,3 1,4 2,1 2,4 3,1 3,3 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 3 2 3c c c c c c c c c + 2c c c c c c c c c + 2c c c c c c c c - 1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,4 3,1 3,3 3,4 1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,3 3,4 1,1 1,2 2,1 2,3 2,4 3,1 3,3 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 2 3 2 2 c c c c c c c c + c c c c c c c c - c c c c c c c + 1,1 1,3 1,4 2,1 2,3 3,2 3,3 3,4 1,1 1,4 2,1 2,2 2,3 3,2 3,3 3,4 1,1 1,3 2,1 2,3 3,2 3,3 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 2 2 2 2 2 2 2 c c c c c c + c c c c c c c c + c c c c c c c c c - 1,1 2,2 2,3 3,2 3,3 3,4 1,1 1,3 1,4 2,1 2,4 3,2 3,3 3,4 1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 2,4 3,2 3,3 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 2 2 2 3 2 c c c c c c c + 3c c c c c c c c c - c c c c c c c c - 1,1 1,4 2,2 2,4 3,2 3,3 3,4 1,1 1,2 1,4 2,1 2,3 2,4 3,2 3,3 3,4 1,1 1,2 2,2 2,3 2,4 3,2 3,3 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 3 3 2 3 2c c c c c c c c + c c c c c c c + c c c c c c - 1,1 1,2 1,3 2,1 2,4 3,2 3,3 3,4 1,1 1,2 1,4 2,1 2,3 3,3 3,4 1,1 1,2 2,1 2,3 3,3 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 3 2 3 2 2 3 c c c c c c c c - c c c c c c c c - c c c c c c c - 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,4 3,3 3,4 1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 2,4 3,3 3,4 1,1 1,2 2,1 2,3 2,4 3,3 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 4 2 2 c c c c c c c + 2c c c c c c c - c c c c c c c + c c c c c c + 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 3,1 3,4 1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 3,1 3,4 1,1 1,2 2,1 2,2 2,3 3,1 3,4 1,2 2,1 2,2 2,4 3,1 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 3 2 2 2 2 2 2 2 c c c c c c - 4c c c c c c c c + 3c c c c c c c c + 1,3 1,4 2,1 3,1 3,2 3,4 1,1 1,3 1,4 2,1 2,2 3,1 3,2 3,4 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 3,1 3,2 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 2 3 3 2 5c c c c c c c c - 5c c c c c c c c - 2c c c c c c + 1,1 1,3 1,4 2,1 2,2 3,1 3,2 3,4 1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 3,1 3,2 3,4 1,1 1,4 2,2 3,1 3,2 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 2 2 c c c c c c c c - c c c c c c c c c + 4c c c c c c c c c + 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,4 1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4 1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 2 2 2 3 2 c c c c c c c - 3c c c c c c c c c - c c c c c c c c - 1,1 1,2 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4 1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,4 1,2 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c c c c c c c + c c c c c c - 2c c c c c c c + c c c c c c c c - 1,1 1,2 2,2 2,4 3,1 3,2 3,4 1,1 1,4 2,1 2,2 3,2 3,4 1,1 1,3 1,4 2,1 2,3 3,2 3,4 1,1 1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 3,2 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 c c c c c c c c + c c c c c c - 2c c c c c c c - c c c c c c + 1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,2 3,4 1,1 1,4 2,2 2,3 3,2 3,4 1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 3,2 3,4 1,1 1,2 2,2 2,3 3,2 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3c c c c c c - 6c c c c c c c + 6c c c c c c c c c + 1,1 1,3 2,1 2,4 3,2 3,4 1,1 1,3 2,1 2,2 2,4 3,2 3,4 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,2 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3c c c c c c - 3c c c c c c c + 2c c c c c c c c + 1,1 1,3 2,2 2,4 3,2 3,4 1,1 1,2 1,4 2,2 2,4 3,2 3,4 1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 2,4 3,2 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2c c c c c c c - c c c c c c - c c c c c c c + 1,1 1,2 2,2 2,3 2,4 3,2 3,4 1,1 1,2 2,2 2,4 3,2 3,4 1,2 1,3 1,4 2,1 3,1 3,3 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3c c c c c c c c c - 2c c c c c c c - 2c c c c c c c c - 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 3,1 3,3 3,4 1,2 1,4 2,1 2,2 3,1 3,3 3,4 1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 3,1 3,3 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 2 2 2 2 3 2 c c c c c c c + 3c c c c c c c c - 2c c c c c c c c + 1,2 1,4 2,1 2,3 3,1 3,3 3,4 1,1 1,2 2,1 2,2 2,3 3,1 3,3 3,4 1,1 1,2 2,1 2,2 2,4 3,1 3,3 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c c c c c c c c - c c c c c c c - 2c c c c c c c + 1,1 1,3 1,4 2,1 2,2 3,2 3,3 3,4 1,1 1,4 2,1 2,2 3,2 3,3 3,4 1,1 1,3 2,1 2,3 3,2 3,3 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 3 2 2 2 4c c c c c c c c c + 4c c c c c c c c - 3c c c c c c c c c - 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 3,2 3,3 3,4 1,1 1,3 2,1 2,2 2,3 3,2 3,3 3,4 1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,2 3,3 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2c c c c c c + 2c c c c c c c - 4c c c c c c c c + 1,1 2,2 2,3 3,2 3,3 3,4 1,1 1,2 2,1 2,3 3,2 3,3 3,4 1,1 1,2 1,3 2,1 2,4 3,2 3,3 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 3 2 2 3c c c c c c c c c - 3c c c c c c c c c + c c c c c c c - 1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,4 3,2 3,3 3,4 1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 2,4 3,2 3,3 3,4 1,1 1,2 2,2 2,4 3,2 3,3 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2c c c c c c c c - c c c c c c c + 2c c c c c c c - 1,1 1,2 2,1 2,3 2,4 3,2 3,3 3,4 1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 3,3 3,4 1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 3,3 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2c c c c c c c - 2c c c c c c c + c c c c c c c + c c c c c c c 1,1 1,2 1,4 2,1 2,3 3,3 3,4 1,1 1,2 2,1 2,2 2,3 3,3 3,4 1,1 1,2 1,3 2,1 2,4 3,3 3,4 1,1 1,2 2,1 2,2 2,4 3,3 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 3 3 2 3 2 2 2 3 3 3 3 + c c c c c c c + c c c c c c - c c c c c c - c c c c c + 1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 3,1 3,4 1,2 1,4 2,1 2,2 3,1 3,4 1,1 1,2 2,1 2,2 3,1 3,4 1,1 1,3 2,1 3,2 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 3 2 3 3 2 3 2 2 3 3c c c c c c - 3c c c c c c c c - 3c c c c c c + 3c c c c c c c + 1,1 1,3 2,1 2,2 3,2 3,4 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 3,2 3,4 1,1 1,3 2,1 2,2 3,2 3,4 1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 3,2 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 3 3 2 2 3 2 2 3 3 3 c c c c - c c c c c c c - 2c c c c c c c + 2c c c c c c c + 1,1 2,2 3,2 3,4 1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 3,2 3,4 1,1 1,2 2,1 2,2 2,3 3,2 3,4 1,1 1,2 2,1 2,2 2,4 3,2 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 3 3 2 2 3 2 2 3 3 2 3 c c c c c c - 2c c c c c c c + 2c c c c c c c + c c c c c c + 1,1 1,2 1,3 2,1 3,3 3,4 1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 3,3 3,4 1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 3,3 3,4 1,1 1,2 2,1 2,2 3,3 3,4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 3 3 2 4 c c c c c c - c c c c c 1,1 1,2 2,1 2,3 3,3 3,4 1,1 1,2 2,1 2,2 3,4 o4 : QQ[c , c , c , c , c , c , c , c , c , c , c , c ] 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4 |
i5 : assert(Res(f,g,h) == sparseResultant(f,g,h)) |
In the second example, we calculate the sparse unmixed resultant associated to the set of monomials (1,x,y,xy). Then we evaluate it at the three polynomials f = a0 + a1 x + a2 y + a3 x y, g = b0 + b1 x + b2 y + b3 x y, h = c0 + c1 x + c2 y + c3 x y. Moreover, we perform all the computation over ℤ/3331.
i6 : time Res = sparseResultant(matrix{{0,0,1,1},{0,1,0,1}},CoefficientRing=>ZZ/3331) -- used 0.0312592 seconds ZZ o6 = sparse unmixed resultant associated to | 0 0 1 1 | over ---- | 0 1 0 1 | 3331 o6 : SparseResultant |
i7 : use ZZ/3331[a_0..a_3,b_0..b_3,c_0..c_3][x,y]; |
i8 : (f,g,h) = (a_0 + a_1*x + a_2*y + a_3*x*y, b_0 + b_1*x + b_2*y + b_3*x*y, c_0 + c_1*x + c_2*y + c_3*x*y) o8 = (a x*y + a x + a y + a , b x*y + b x + b y + b , c x*y + c x + c y + c ) 3 1 2 0 3 1 2 0 3 1 2 0 o8 : Sequence |
i9 : time Res(f,g,h) -- used 0.0033477 seconds 2 2 2 2 2 2 2 2 2 o9 = a b b c - a a b b c - a a b b c + a a b c - a b b c c - a a b b c c + a a b c c + a a b b c c + a b b c c - 3 1 2 0 2 3 1 3 0 1 3 2 3 0 1 2 3 0 3 0 2 0 1 2 3 1 2 0 1 1 3 2 0 1 2 3 0 3 0 1 2 1 3 0 1 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a b b c c + a a b b c c - a a b c c + a a b b c - a a b c - a b b c + a a b b c - a b b c c + a a b c c - 1 2 2 3 0 1 0 3 2 3 0 1 0 2 3 0 1 2 3 0 2 1 0 3 2 1 2 0 3 1 0 2 2 3 1 3 0 1 0 2 2 3 1 0 2 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 a a b b c c + a a b b c c - a a b b c c + a a b b c c + a b b c c - a a b c c + a b c c - a a b b c c - a a b b c c 1 3 1 2 0 2 1 3 0 3 0 2 1 2 1 3 0 2 0 3 1 3 0 2 1 2 3 0 2 0 1 3 0 2 3 0 1 2 2 3 0 1 1 2 1 3 0 2 1 2 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 2 2 + 2a a b b c c + 2a a b b c c - 2a a b b c c - a a b b c c - a a b b c c + a b c c + a a b b c - a a b c - a b b c 0 3 1 2 1 2 1 2 0 3 1 2 0 3 0 3 1 2 0 2 1 3 1 2 0 1 2 3 1 2 0 3 1 2 1 3 0 1 2 0 3 1 2 1 0 3 2 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 + a a b b c + a a b b c c - a b c c + a a b b c c + 2a a b b c c - 2a a b b c c - a b c c - 2a a b b c c + 0 1 1 3 2 2 3 0 1 0 3 2 1 0 3 1 3 0 2 0 3 1 2 1 2 0 3 0 3 1 2 0 3 1 2 0 3 1 2 0 3 0 3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 a a b b c c + a a b b c c - a a b c c + a b b c c - a a b b c c + a a b b c c - a a b b c c + a a b c c + 0 2 1 3 0 3 0 1 2 3 0 3 2 3 0 1 3 2 0 1 1 3 1 2 0 2 1 3 0 3 0 2 1 3 0 2 1 2 1 3 0 1 2 1 3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 a a b b c c - a b b c c - a a b c c - a a b b c c + a a b b c c + a a b c c + a b b c c - a a b b c c + a a b b c c 0 2 0 3 1 3 0 2 3 1 3 1 3 0 2 3 1 2 0 1 2 3 0 3 0 1 2 3 0 2 1 2 3 1 0 2 2 3 0 1 1 2 2 3 0 1 0 3 2 3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 2 2 - a b b c c + a a b c - a a b b c - a a b b c + a b b c 0 1 3 2 3 1 2 0 3 0 2 0 1 3 0 1 0 2 3 0 1 2 3 ZZ o9 : ----[a , a , a , a , b , b , b , b , c , c , c , c ] 3331 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 |
i10 : assert(Res(f,g,h) == sparseResultant(f,g,h)) |
In the third and last example, we compare the sparse mixed resultant and the sparse unmixed resultant of three generic polynomials of degrees 1,2,2 in two variables.
i11 : (f,g,h) = genericLaurentPolynomials(1,2,2) 2 2 2 2 o11 = (a x + a x + a , b x + b x x + b x + b x + b x + b , c x + c x x + c x + c x + c x + c ) 2 1 1 2 0 5 1 4 1 2 2 2 3 1 1 2 0 5 1 4 1 2 2 2 3 1 1 2 0 o11 : Sequence |
i12 : time (MixedRes,UnmixedRes) = (sparseResultant(f,g,h),sparseResultant(f,g,h,Unmixed=>true)) -- used 0.813678 seconds 4 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 4 2 2 4 3 3 o12 = (a b c - 2a a b b c + a a b c + 2a a b b c - 2a a b b c + a b c - a b b c c + a a b b c c + a a b b c c + 2 2 0 1 2 2 4 0 1 2 4 0 1 2 2 5 0 1 2 4 5 0 1 5 0 2 1 2 0 1 1 2 2 3 0 1 1 2 1 4 0 1 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 a a b b c c - a a b b c c - a a a b c c - a a b b c c - 2a a a b b c c + a a b b c c + 3a a a b b c c - 2a a b c c 0 2 2 4 0 1 1 2 3 4 0 1 0 1 2 4 0 1 1 2 1 5 0 1 0 1 2 2 5 0 1 1 2 3 5 0 1 0 1 2 4 5 0 1 0 1 5 0 1 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + a b b c - a a b b c - a a b b c + a a a b b c + a a b b c + a a b b c - a a a b b c - a a a b b c + a a b c + 2 0 2 1 0 2 2 3 1 1 2 0 4 1 0 1 2 3 4 1 1 2 0 5 1 0 2 2 5 1 0 1 2 3 5 1 0 1 2 4 5 1 0 1 5 1 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 2 4 3 3 2 2 2 3 3 2 2 2 a b c c - 2a b b c c - 2a a b b c c + 2a a b b c c + a a b c c + 2a a b b c c - 2a a b b c c + a a b c c - 2 1 0 2 2 0 2 0 2 1 2 1 3 0 2 0 2 2 3 0 2 1 2 3 0 2 1 2 0 4 0 2 0 2 1 4 0 2 0 2 4 0 2 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2a a b b c c + 4a a a b b c c - 2a a b b c c - 2a a a b b c c - 2a a a b b c c + 2a a b c c - a b b c c + 1 2 0 5 0 2 0 1 2 1 5 0 2 0 2 2 5 0 2 0 1 2 3 5 0 2 0 1 2 4 5 0 2 0 1 5 0 2 2 0 1 1 2 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 a a b b c c + a a b b c c - a a a b c c + a a b b c c - a a b b c c - 2a a a b b c c - a a b b c c + 3a a a b b c c 1 2 0 3 1 2 0 2 1 3 1 2 0 1 2 3 1 2 0 2 0 4 1 2 0 2 3 4 1 2 0 1 2 0 5 1 2 0 2 1 5 1 2 0 1 2 3 5 1 2 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 3 2 4 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 4 2 2 3 + a a b b c c - 2a a b c c + a b c - 2a a b b c + a a b c + 2a a b b c - 2a a b b c + a b c + a a b b c c - 0 2 4 5 1 2 0 1 5 1 2 2 0 2 0 2 0 3 2 0 2 3 2 0 2 0 5 2 0 2 3 5 2 0 5 2 1 2 1 2 0 3 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2a a b c c - a a b b c c - a a b b c c + 3a a a b b c c + a a b b c c - a a a b c c + a a b b c c - 2a a a b b c c 0 2 2 0 3 1 2 2 3 0 3 1 2 1 4 0 3 0 1 2 2 4 0 3 1 2 3 4 0 3 0 1 2 4 0 3 1 2 1 5 0 3 0 1 2 2 5 0 3 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 3 3 3 2 2 2 2 2 2 - a b b c c + a a b b c c - 2a a b b c c + a a b b c c + a a a b b c c + 2a a b b c c - a a a b b c c - a a b b c c 1 3 5 0 3 0 1 4 5 0 3 1 2 0 2 1 3 0 2 1 2 1 3 0 1 2 2 3 1 3 1 2 0 4 1 3 0 1 2 1 4 1 3 0 2 2 4 1 3 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 3 2 3 2 2 3 3 2 - a a a b b c c + a a a b c c - 2a a b b c c + a a a b b c c + a a b b c c - a a b b c c + a a b b c c - a a b c c 0 1 2 3 4 1 3 0 1 2 4 1 3 1 2 0 5 1 3 0 1 2 1 5 1 3 0 1 3 5 1 3 0 1 4 5 1 3 1 2 0 1 2 3 0 2 1 2 3 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + 2a a b b c c - a a b b c c + a a a b b c c - 2a a b b c c - 3a a a b b c c + 2a a b b c c + a a a b b c c - 0 2 0 2 2 3 1 2 0 3 2 3 0 1 2 1 3 2 3 0 2 2 3 2 3 0 1 2 0 4 2 3 0 2 1 4 2 3 0 1 2 3 4 2 3 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 a a b c c + 4a a a b b c c - 3a a a b b c c + 2a a b b c c - a a b b c c + a a b b c c + a a b b c - a a a b b c + 0 2 4 2 3 0 1 2 0 5 2 3 0 1 2 1 5 2 3 0 2 2 5 2 3 0 1 3 5 2 3 0 1 4 5 2 3 1 2 0 2 3 0 1 2 1 2 3 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 4 2 3 2 2 2 2 3 2 3 a a b c - a a b b c + a a a b b c - a a a b b c + a b b c - a a b b c + a a b b c - a a b c c + 2a a b b c c + 0 2 2 3 1 2 0 4 3 0 1 2 1 4 3 0 1 2 2 4 3 1 0 5 3 0 1 1 5 3 0 1 2 5 3 1 2 1 0 4 1 2 0 2 0 4 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 a a b b c c + 2a a b b c c - 3a a a b b c c - a a b c c - 2a a b b c c + a a a b b c c - a a b b c c + 0 2 1 2 0 4 1 2 1 3 0 4 0 1 2 2 3 0 4 1 2 3 0 4 1 2 0 4 0 4 0 1 2 1 4 0 4 0 2 2 4 0 4 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 3 2 2 3 2 2 3 a a a b b c c + 2a a b b c c - 3a a a b b c c + 4a a a b b c c + a a b b c c - a a b b c c + a a b b c c - 0 1 2 3 4 0 4 1 2 0 5 0 4 0 1 2 1 5 0 4 0 1 2 2 5 0 4 0 1 3 5 0 4 0 1 4 5 0 4 1 2 0 1 1 4 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a a b b c c - a a b b c c - a a a b b c c + 2a a b b c c + a a a b c c + a a a b b c c - a a a b b c c + 0 2 0 2 1 4 1 2 0 3 1 4 0 1 2 1 3 1 4 0 2 2 3 1 4 0 1 2 3 1 4 0 1 2 0 4 1 4 0 1 2 3 4 1 4 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 3 2 2 3 3 2 3 2 2 2 a a a b b c c - 2a a b b c c - a a b b c c + a a b b c c - 2a a b c c + a a b b c c + 3a a a b b c c - a a b b c c 0 1 2 1 5 1 4 0 2 2 5 1 4 0 1 3 5 1 4 0 1 4 5 1 4 1 2 0 2 4 0 2 0 1 2 4 0 1 2 0 3 2 4 0 2 1 3 2 4 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 3 2 3 3 4 2 2 - a a a b c c - a a b b c c + a a b b c c - 2a a a b b c c + a a b b c c + a a b b c c - a b b c c - a a b b c c + 0 1 2 3 2 4 0 2 0 4 2 4 0 2 3 4 2 4 0 1 2 0 5 2 4 0 2 1 5 2 4 0 1 3 5 2 4 0 4 5 2 4 1 2 0 1 3 4 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 3 2 2 2 2 a a a b c c - 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a a b b c c c + 2a b b b b c c c - 2a a b b b b c c c - 2a a b b b b c c c + 2a a a b b b c c c - 0 2 0 4 1 2 5 0 2 3 4 1 2 5 2 0 1 2 5 1 2 5 1 2 0 2 3 5 1 2 5 0 2 1 2 3 5 1 2 5 0 1 2 2 3 5 1 2 5 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2a a b b b b c c c + 2a a b b b b c c c - 2a a a b b b c c c - a a b b b c c c + 3a a a b b b c c c + a a b b c c c - 0 2 0 2 4 5 1 2 5 0 2 2 3 4 5 1 2 5 0 1 2 0 4 5 1 2 5 0 2 1 4 5 1 2 5 0 1 2 3 4 5 1 2 5 0 2 4 5 1 2 5 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 a a b b b c c c + 8a a a b b b c c c + a a b b b c c c + a a b b b c c c + a a a b b b c c c - 9a a a b b b c c c - 1 2 0 1 5 1 2 5 0 1 2 0 2 5 1 2 5 0 2 1 2 5 1 2 5 1 2 0 3 5 1 2 5 0 1 2 1 3 5 1 2 5 0 1 2 2 3 5 1 2 5 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 a a b b c c c - 3a a a b b b c c c + a a a b b b c c c - a a b b b c c c + 2a a b b b c c c - 3a a b b c c c + 0 1 3 5 1 2 5 0 1 2 0 4 5 1 2 5 0 1 2 1 4 5 1 2 5 0 2 2 4 5 1 2 5 0 1 3 4 5 1 2 5 0 1 4 5 1 2 5 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 3 2 2 2 3 2 3 3 2 4 2 2 3 3 2 3 2 2 2 2 3 4 2 3 2a a b b c c c - 2a a b b c c c + 6a a b b c c c + a b b c c - 2a a b b b c c + a a b b c c - 2a b b b c c + 0 1 0 5 1 2 5 0 1 1 5 1 2 5 0 1 2 5 1 2 5 2 0 4 2 5 0 2 0 3 4 2 5 0 2 3 4 2 5 2 0 2 5 2 5 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 3 2 2 2 3 2 2 2 3 3 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 3 4a a b b b b c c - 2a a b b b c c + 2a a b b b c c - 2a a b b b c c + 2a a b b c c - 2a a a b b b c c + a a b b c c 0 2 0 2 3 5 2 5 0 2 2 3 5 2 5 0 2 0 4 5 2 5 0 2 3 4 5 2 5 1 2 0 5 2 5 0 1 2 0 1 5 2 5 0 2 1 5 2 5 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 3 2 2 3 3 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3 3 2 3 - 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a a b b c c c c - a a a b b c c c c + a a a b c c c c + 4a a b b b c c c c - 2a a b b b c c c c - 0 1 2 1 4 1 2 3 5 0 2 2 4 1 2 3 5 0 1 2 3 4 1 2 3 5 0 1 2 4 1 2 3 5 1 2 0 2 5 1 2 3 5 0 2 1 2 5 1 2 3 5 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a a a b b b c c c c - 4a a b b b b c c c c + 2a a a b b b b c c c c + 2a a b b b c c c c + 2a a a b b b b c c c c - 0 1 2 2 3 5 1 2 3 5 1 2 0 2 4 5 1 2 3 5 0 1 2 1 2 4 5 1 2 3 5 0 2 2 4 5 1 2 3 5 0 1 2 2 3 4 5 1 2 3 5 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2a a b b b c c c c + a a a b b b c c c c - 2a a a b b b c c c c + a a b b b c c c c - a a b b c c c c + 1 2 0 4 5 1 2 3 5 0 1 2 1 4 5 1 2 3 5 0 1 2 2 4 5 1 2 3 5 0 1 3 4 5 1 2 3 5 0 1 4 5 1 2 3 5 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 4a a b b b c c c c - 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2a a b b b b c c c + 2a b b b c c c - a a b b b c c c + a a a b b c c c - a a b b c c c + 0 1 0 2 4 5 2 4 5 0 1 1 2 4 5 2 4 5 0 2 4 5 2 4 5 1 2 0 1 2 3 4 5 0 1 2 1 2 3 4 5 0 2 1 2 3 4 5 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 a a b b b c c c - a a a b b b c c c + a a a b b c c c - a a b b b b c c c + a a a b b b c c c + 3a a a b b b c c c - 1 2 0 2 3 3 4 5 0 1 2 1 2 3 3 4 5 0 1 2 2 3 3 4 5 1 2 0 1 2 4 3 4 5 0 1 2 1 2 4 3 4 5 0 1 2 0 2 4 3 4 5 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 3 3 2 4 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 4a a a b b b c c c + 3a a b b c c c + a b b b b c c c - a a b b b b c c c + a a b b b c c c - a a b b b c c c + 0 1 2 1 2 4 3 4 5 0 2 2 4 3 4 5 1 0 2 3 4 3 4 5 0 1 1 2 3 4 3 4 5 0 1 2 3 4 3 4 5 0 1 0 2 4 3 4 5 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 a a b b b c c c - a a b b c c c - 2a a b b b c c c + 2a a b b b c c c - 2a a b b c c c + a a b b c c - 0 1 1 2 4 3 4 5 0 1 2 4 3 4 5 0 1 0 2 5 3 4 5 0 1 1 2 5 3 4 5 0 1 2 5 3 4 5 1 2 0 2 4 5 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 2 2 2 a a a b b b c c + a a b b c c - a a a b b b c c + a a a b b b c c - a a b b c c + 2a a b b b c c - 0 1 2 0 1 2 4 5 0 2 0 2 4 5 0 1 2 0 2 3 4 5 0 1 2 1 2 3 4 5 0 2 2 3 4 5 1 2 0 2 4 4 5 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3a a a b b b b c c + a a a b b b c c + 2a a a b b b c c - a a b b b c c - a a b b b b c c + a a b b b b c c - 0 1 2 0 1 2 4 4 5 0 1 2 1 2 4 4 5 0 1 2 0 2 4 4 5 0 2 1 2 4 4 5 0 1 0 2 3 4 4 5 0 1 1 2 3 4 4 5 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 4 2 2 2 2 4 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 a a b b b c c + a a b b b c c - a a b b b c c + a b b c c + a b b b c c - 2a a b b b b c c + a a b b b c c + 0 1 2 3 4 4 5 0 1 0 2 4 4 5 0 1 1 2 4 4 5 0 2 4 4 5 1 0 2 5 4 5 0 1 0 1 2 5 4 5 0 1 1 2 5 4 5 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 3 2 2 2 4 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 3 2 3 3 2 2 4 3 3a a b b b c c - 3a a b b b c c + 2a b b c c + a a b b c c - 2a a b b c c - 2a a a b b c c + 2a a b c c - 0 1 0 2 5 4 5 0 1 1 2 5 4 5 0 2 5 4 5 1 2 1 2 0 5 1 2 0 2 0 5 0 1 2 1 2 0 5 0 2 2 0 5 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 3 2 3 3 4 2 2 3 3 2 3 2 3 3 3 2 3 2 2 2 2 3 2a a b b b c c + 4a a a b b c c + a b b c c + 2a a b b b c c - 2a a a b b c c - 2a a b b b c c + a a b b c c - 1 2 1 2 3 0 5 0 1 2 2 3 0 5 1 2 3 0 5 1 2 0 2 4 0 5 0 1 2 2 4 0 5 0 1 2 3 4 0 5 0 1 2 4 0 5 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 2 3 3 2 3 2 2 3 3 2 2 2 3 2 3 3 2 2 3 3 3 2 3 2a b b b c c + 2a a b b b c c - 2a a b b c c - a a b b b c c + 4a a a b b c c - a a b b c c + a a b b b c c + 1 0 2 5 0 5 0 1 1 2 5 0 5 0 1 2 5 0 5 1 2 0 1 2 1 5 0 1 2 0 2 1 5 0 2 1 2 1 5 1 2 0 2 3 1 5 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 3 2 3 3 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 3 3 3 2 2 2 3 a a a b b b c c - 3a a a b b c c - a a b b c c - 3a a a b b b c c + a a a b b b c c + a a b b c c + 2a a b b b c c - 0 1 2 1 2 3 1 5 0 1 2 2 3 1 5 0 1 2 3 1 5 0 1 2 0 2 4 1 5 0 1 2 1 2 4 1 5 0 2 2 4 1 5 0 1 2 3 4 1 5 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 2 3 3 2 3 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 3 a a b b c c + 2a a b b b c c - 2a a b b b c c + 2a a b b c c + 2a a b b c c - 2a a a b b b c c + a a b b c c - 0 1 2 4 1 5 0 1 0 2 5 1 5 0 1 1 2 5 1 5 0 1 2 5 1 5 1 2 0 2 2 5 0 1 2 0 1 2 2 5 0 2 1 2 2 5 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 3 2 2 3 3 2 3 3 2 3 2a a b b c c - 2a a a b b b c c + 2a a b b c c + a a b b c c + 4a a a b b b c c - 2a a b b b c c - 2a a b b b c c + 0 2 0 2 2 5 0 1 2 0 2 3 2 5 0 2 2 3 2 5 0 1 2 3 2 5 0 1 2 0 2 4 2 5 0 2 1 2 4 2 5 0 1 2 3 4 2 5 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 2 2 3 3 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 3 3 2 3 4 2 2 3 4 2 3 a b b c c - 2a a b b b c c + a a b b c c + 2a a b b b c c - 2a a b b b c c + 2a b b c c - 2a b b b c c + 1 0 4 2 5 0 1 0 1 4 2 5 0 1 1 4 2 5 0 1 0 2 4 2 5 0 1 1 2 4 2 5 0 2 4 2 5 1 0 2 5 2 5 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 3 2 2 2 3 2 2 2 3 3 2 3 4 3 3 3 2 3 2 2 2 3 4a a b b b b c c - 2a a b b b c c - 6a a b b b c c + 6a a b b b c c - 4a b b c c + a a b b b c c - a a a b b c c - 0 1 0 1 2 5 2 5 0 1 1 2 5 2 5 0 1 0 2 5 2 5 0 1 1 2 5 2 5 0 2 5 2 5 1 2 0 1 2 3 5 0 1 2 1 2 3 5 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 3 3 2 3 3 3 4 3 4 2 3 3 2 3 2 2 3 3 3 2 3 2a a a b b c c + 3a a a b b c c - 2a a b c c - a b b b c c + a a b b b c c - a a b b c c + a a b b b c c - 0 1 2 0 2 3 5 0 1 2 1 2 3 5 0 2 2 3 5 1 0 2 3 3 5 0 1 1 2 3 3 5 0 1 2 3 3 5 0 1 0 2 4 3 5 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 3 3 3 3 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 3 3 3 3 3 a a b b b c c + a a b b c c - 2a a b b c c + 3a a a b b b c c - a a a b b c c - 2a a a b b c c + a a b b c c + 0 1 1 2 4 3 5 0 1 2 4 3 5 1 2 0 2 4 5 0 1 2 0 1 2 4 5 0 1 2 1 2 4 5 0 1 2 0 2 4 5 0 2 1 2 4 5 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 3 2 2 2 3 3 3 3 4 2 3 3 3 2 2 2 3 2 2 2 3 a a b b b c c - a a b b b c c + a a b b c c - a b b b c c + 2a a b b b b c c - a a b b b c c - 3a a b b b c c + 0 1 0 2 3 4 5 0 1 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 1 0 2 4 4 5 0 1 0 1 2 4 4 5 0 1 1 2 4 4 5 0 1 0 2 4 4 5 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 3 4 3 3 4 2 2 4 3 2 4 2 2 2 2 4 2 2 3 4 3 3 4 4 4 4 3a a b b b c c - 2a b b c c + a b b c - 2a a b b b c + a a b b c + 2a a b b c - 2a a b b c + a b c ) 0 1 1 2 4 4 5 0 2 4 4 5 1 0 2 5 0 1 0 1 2 5 0 1 1 2 5 0 1 0 2 5 0 1 1 2 5 0 2 5 o12 : Sequence |
i13 : quotientRemainder(UnmixedRes,MixedRes) 2 2 2 2 2 2 o13 = (b c - b b c c + b b c + b c c - 2b b c c - b b c c + b c , 0) 5 2 4 5 2 4 2 5 4 4 2 5 2 5 2 5 2 4 4 5 2 5 o13 : Sequence |
i14 : assert((denseResultant(2,2,2))(f,g,h) == UnmixedRes and (denseResultant(1,2,2))(f,g,h) == MixedRes) |