The conormal variety Con(X) of a projective variety X⊂ℙn is the Zariski closure in ℙn×ℙn* of the set of tuples (x,H) where x is a regular point of X and H is a hyperplane in ℙn containing the embedded tangent space to X at x. The dual variety of X is the image of Con(X)⊂ℙn×ℙn* under projection onto the second factor ℙn*.
i1 : X = kernel veronese(1,3) 2 2 o1 = ideal (x - x x , x x - x x , x - x x ) 2 1 3 1 2 0 3 1 0 2 o1 : Ideal of QQ[x , x , x , x ] 0 1 2 3 |
i2 : conormalVariety X o2 = ideal (x x + 2x x + 3x x , x x + 2x x + 3x x , 3x x + 2x x + x x , x x - 0,1 1,1 0,2 1,2 0,3 1,3 0,0 1,1 0,1 1,2 0,2 1,3 0,1 1,0 0,2 1,1 0,3 1,2 0,0 1,0 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 3 3 x x - 2x x , x - x x , x x - x x , x - x x , x x - 4x x - 4x x + 0,2 1,2 0,3 1,3 0,2 0,1 0,3 0,1 0,2 0,0 0,3 0,1 0,0 0,2 1,1 1,2 1,0 1,2 1,1 1,3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 18x x x x - 27x x ) 1,0 1,1 1,2 1,3 1,0 1,3 o2 : Ideal of QQ[x , x , x , x , x , x , x , x ] 0,0 0,1 0,2 0,3 1,0 1,1 1,2 1,3 |